Ao dividirmos p(x) por (x-a)(x-b), obtemos q(x) como quociente e r(x) como resto.
Como o divisor tem grau 2, g(r) < 2 ou r(x) = 0, e pode ser escrito na forma r(x) = cx + d.
Assim a divisão pode ser escrita na forma:
P(x) = (x-a) . (x-b) . q(x) + cx + d
Para que p(x) seja divisível por (x-a).(x-b), precisamos mostrar que r(x) = 0.
Por hipótese, temos:
· P(x) é divisível por (x-a)
· P(x) é divisível por (x-b)
Pela teorema de D’Alembert, segue que:
*p(a) = 0 * p(b) = 0
Substituindo p(a) e p(b) em
P(x) = (x-a) . (x-b) . q(x) + cx + d, temos:
P(a) = 0
(a-a).(a-b).q(a) + ca + d = 0
Ca + d = 0 (I)
P(b) = 0
(b-a).(b-b). q(b) + cb + d = 0
Cb + d = 0 (II)
Resolvendo um sistema
Ca + d = 0 ca + d = 0
Cb + d = 0 .(-1) => -cb – d = 0
ca-cb=0 => c(a-b)=0
Como a é diferente de b, segue que c=0. Substituindo c=0 em I ou II, segue que d=0, pois:
0 . a + d = 0 => d=0
Portanto: r(x) = cx + d = 0 . x + 0 = 0
muito obrigado me ajudou muito, irei fazer uma prova amanha sobre essa matéria. valeu msm
ResponderExcluirfechei a prova :)
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